Forma polinómica : a x² + b x + c
Forma factorizada : f ( x ) = a . ( x -x1 ) . ( x - x2 ) ; x1 y x2 son raíces
Forma canónica : f ( x ) = a . ( x - xv ) ² + yv ; coordenadas vértice ( xv ; yv )
Ejemplo
Forma polinómica : x²+ x - 6
Las raíces de esta ecuación son : x1 = 2 y x = - 3
Forma factorizada : f ( x ) = a . ( x -x1 ) . ( x - x2 )
Remplazando en : f( x ) = 1 . ( x - 2 ) . ( x + 3 )
Coordenadas del vértice V ( - 1 ; - 6)
Forma canónica : f ( x ) = a . ( x - xv ) ² + yv
Remplazando en : f ( x ) = 1 . ( x + 1/2 ) ² - 6
Calcular
Pasar a la forma canónica y factorizada la siguiente función polinómica :
a ) x² - 4 x + 3 = 0
b ) x² + 3 x - 10 = 0
c ) x² - 8 x + 7 = 0
lunes, 14 de noviembre de 2011
Discriminante
Discriminante es la expresión Δ = b² - 4 . a .c
Se presentan 3 situaciones con respecto al discriminante :
1 ) Δ > 0 , en este caso la función tiene dos raíces reales distintas , y su gráfica corta al eje x en dos puntos .
2 ) Δ = 0 , en este caso la función tiene una sola raíz igual , y su gráfica tiene un solo punto de contacto con el eje x .
3 ) Δ< 0 , en este caso la función no tiene raíces reales y su gráfica no tiene contacto con el eje x .
Calcular si tienen sooluciones reales
a ) x² + 2 x - 1 = 0
b) 8 x² - 3 x + 1 = 0
c) 5 x² + 3 = 0
d ) x² - 5 x + 2 = 0
e ) 1 - 9 x² = 0
Soluciones
a) 2
b) ninguna
c ) ninguna
d) 2
e ) 2
Encontrar los posibles de k para las siguientes ecuaciones que cumplan con las condiciones pedidas en cada caso :
1 ) Δ< 0
3 x² - x + k = 0 ; aplicamos el discriminate
1² - 4 . 3 . k < 0
1 < 12 k
1 / 12 < k
2 ) Δ = 0
x² + k x + 4 = 0 ; aplicamos discriminante
k² - 4 .1 . 4 = 0
k² = 16
k = ± √ 16
k = ± 4
3) Δ > 0
x² + k x + 6 = 0 ; aplicamos discriminante
k² - 4 . 1 . 6 > 0
k² > 24
k > √24
k < - √24
Se presentan 3 situaciones con respecto al discriminante :
1 ) Δ > 0 , en este caso la función tiene dos raíces reales distintas , y su gráfica corta al eje x en dos puntos .
2 ) Δ = 0 , en este caso la función tiene una sola raíz igual , y su gráfica tiene un solo punto de contacto con el eje x .
3 ) Δ< 0 , en este caso la función no tiene raíces reales y su gráfica no tiene contacto con el eje x .
Calcular si tienen sooluciones reales
a ) x² + 2 x - 1 = 0
b) 8 x² - 3 x + 1 = 0
c) 5 x² + 3 = 0
d ) x² - 5 x + 2 = 0
e ) 1 - 9 x² = 0
Soluciones
a) 2
b) ninguna
c ) ninguna
d) 2
e ) 2
Encontrar los posibles de k para las siguientes ecuaciones que cumplan con las condiciones pedidas en cada caso :
1 ) Δ< 0
3 x² - x + k = 0 ; aplicamos el discriminate
1² - 4 . 3 . k < 0
1 < 12 k
1 / 12 < k
2 ) Δ = 0
x² + k x + 4 = 0 ; aplicamos discriminante
k² - 4 .1 . 4 = 0
k² = 16
k = ± √ 16
k = ± 4
3) Δ > 0
x² + k x + 6 = 0 ; aplicamos discriminante
k² - 4 . 1 . 6 > 0
k² > 24
k > √24
k < - √24
Gráfica de una función cuadrática
Para graficar una función cuadrática : f ( x ) = x² + 2 x - 8
- Hallamos sus raíces aplicando la fórmula de la resolvente :
- Encontramos la ecuación del eje simetría , que pasa por la abscisa del vértice :
Xv = x1 + x2 = - 1 o tambíen Xv = - b
2 2 . a
-Para sacar Yv , reemplazamos el valor de Xv en nuestra ecuación cuadrática :
f ( x ) = x² + 2 x - 8
f ( Xv) = ( - 1 ) ² + 2 . ( - 1 ) - 8 = - 9
Coordenadas del vértice V( - 1 ; - 9 )
- Se clcula la ordenada al origen , reemplazamos en la ecuación cuadrática por el valor x = 0
f ( x ) = x² + 2 x - 8
f ( 0 ) = 0² + 2 . o - 8 = - 8
Ordenada al origen y = - 8 , corta al eje y .
Ahora podemos construir nuestra gráfica
Graficar las siguientes funciones cuadráticas
a) y = x² - 2x + 1
b ) y = 2 x² - 8
c ) y = x² - x - 6
d ) ½ x² + ¾ x - ½
- Hallamos sus raíces aplicando la fórmula de la resolvente :
- Encontramos la ecuación del eje simetría , que pasa por la abscisa del vértice :
Xv = x1 + x2 = - 1 o tambíen Xv = - b
2 2 . a
-Para sacar Yv , reemplazamos el valor de Xv en nuestra ecuación cuadrática :
f ( x ) = x² + 2 x - 8
f ( Xv) = ( - 1 ) ² + 2 . ( - 1 ) - 8 = - 9
Coordenadas del vértice V( - 1 ; - 9 )
- Se clcula la ordenada al origen , reemplazamos en la ecuación cuadrática por el valor x = 0
f ( x ) = x² + 2 x - 8
f ( 0 ) = 0² + 2 . o - 8 = - 8
Ordenada al origen y = - 8 , corta al eje y .
Ahora podemos construir nuestra gráfica
Graficar las siguientes funciones cuadráticas
a) y = x² - 2x + 1
b ) y = 2 x² - 8
c ) y = x² - x - 6
d ) ½ x² + ¾ x - ½
sábado, 12 de noviembre de 2011
Función cuadrática
Función cuadrática : es toda función que puede expresarse de la forma :
f ( x ) = a x² b x + c donde a≠ 0
a ε R→ coeficiente principal o cuadrático a≠ 0
b ε R → coeficiente del término lineal
c ε R → término independiente
- El dominio natural de estas funciones es R , y al representarse gráficamente , se obtiene una curva llamada parábola .
- Cada parábola presenta un eje de simetría paralelo al eje y de ordenadas , sobre él y un punto llamado vértice en que la curva pasa de ser creciente a decreciente o viceversa .
- Los ceros o raíces reales de una función cuadrática son las abscisas de los puntos de contacto entre su gráfica y el eje de las x .
Recordemos que si el coeficiente principal a es positivo las ramas de la parábola van hacia arriba y si es negativo van hacia abajo las ramas de la misma .
Ejemplo : mediante una tabla de valores graficar f ( x ) = x² - 2x - 8
Realizar una gráfica aproximada de las siguientes funciones cuadráticas
a ) x² - 9
b ) x² - x - 2
c ) - x² + 4
f ( x ) = a x² b x + c donde a≠ 0
a ε R→ coeficiente principal o cuadrático a≠ 0
b ε R → coeficiente del término lineal
c ε R → término independiente
- El dominio natural de estas funciones es R , y al representarse gráficamente , se obtiene una curva llamada parábola .
- Cada parábola presenta un eje de simetría paralelo al eje y de ordenadas , sobre él y un punto llamado vértice en que la curva pasa de ser creciente a decreciente o viceversa .
- Los ceros o raíces reales de una función cuadrática son las abscisas de los puntos de contacto entre su gráfica y el eje de las x .
Recordemos que si el coeficiente principal a es positivo las ramas de la parábola van hacia arriba y si es negativo van hacia abajo las ramas de la misma .
Ejemplo : mediante una tabla de valores graficar f ( x ) = x² - 2x - 8
Realizar una gráfica aproximada de las siguientes funciones cuadráticas
a ) x² - 9
b ) x² - x - 2
c ) - x² + 4
Función polinómica.Gráfica
Se puede obtener una representación gráfica aproximada de una función polinómica , sin hacer una tabla de valores. Debemos tener en cuenta los siguientes pasos :
- El dominio es R y es continua
- La ordenada al origen , f ( 0 ) , es el término independiente .
- La curva tiene contacto con el eje de las abscisas en los puntos en los que x = r , donde r es cada raíz real del polinomio . Si la multiplicidad es impar , la curva "atraviesa" el eje x ; si la multiplicidad es par , la curva "rebota" sin atravesarlo .
- Entre raíces consecutivas , las imágenes de la función son todas positivas o todas negativas .
- A la derecha ( izquierda) de la mayor ( menor ) de las raíces , las imágenes de la función son todas positivas o todas negativas .
Ejemplo :
f(x) = ( x - 2 ) ² . ( x - 1 ) . ( x + 1 ) ³
Para esta función tenemos las siguientes raíces :
( x + 1 )³ → despejando x nos queda x = - 1 ; multiplicidad 3 es impar
( x - 2 )² → despejando x nos queda x = 2 ; multiplicidad 2 es par
( x - 1 ) → despejando x nos queda x = 1 ; multiplicidad 1 es impar
Hallar la gráfica aproximada de la siguiente función
f ( x ) = 2 . ( x - 1 ) . ( x + 2 )² . ( x - 3 )³
- El dominio es R y es continua
- La ordenada al origen , f ( 0 ) , es el término independiente .
- La curva tiene contacto con el eje de las abscisas en los puntos en los que x = r , donde r es cada raíz real del polinomio . Si la multiplicidad es impar , la curva "atraviesa" el eje x ; si la multiplicidad es par , la curva "rebota" sin atravesarlo .
- Entre raíces consecutivas , las imágenes de la función son todas positivas o todas negativas .
- A la derecha ( izquierda) de la mayor ( menor ) de las raíces , las imágenes de la función son todas positivas o todas negativas .
Ejemplo :
f(x) = ( x - 2 ) ² . ( x - 1 ) . ( x + 1 ) ³
Para esta función tenemos las siguientes raíces :
( x + 1 )³ → despejando x nos queda x = - 1 ; multiplicidad 3 es impar
( x - 2 )² → despejando x nos queda x = 2 ; multiplicidad 2 es par
( x - 1 ) → despejando x nos queda x = 1 ; multiplicidad 1 es impar
Hallar la gráfica aproximada de la siguiente función
f ( x ) = 2 . ( x - 1 ) . ( x + 2 )² . ( x - 3 )³
jueves, 10 de noviembre de 2011
miércoles, 9 de noviembre de 2011
Números Complejos
En el conjunto de los números reales no es posible obtener las raíces de índice par y radicando negativo. Por ejemplo , √-25 , no hay ningun número tal que elevado al cuadrado dé por resultado el número - 25 . Para resolver estas operaciones se amplia el conjunto de los números reales , introduciendo los números imaginarios .
Entre los númeroas imaginarios se define la unidad imaginaria que se designa con la letra i , y tal que su cuadrado es igual a -1 .
Ejemplo : √-36 = ±6 i , en efecto ( ± 6 i )² = 6². i² = 36 . ( -1 ) = - 36
Los números complejos se definen se representan de la forma bínomica :a + b i
Donde a es la componente real , b es la componente imaginaria
.
Opuesto de un número complejo es interponer el signo negativo delante del número complejo , lo que hace este signo negativo es cambiar los signos de las componentes .
Z = -2+ 5 i
- Z = 2 - 5 i
Conjugado de un número complejo es cambiarle el signo a la componente imaginaria .
Z = 4 + 7 i
Z = 4 - 7 i
La suma de dos números complejos conjugados da por resultado un número real que es el duplo de la componente real .
Ejemplo : ( 8 + 5 i ) + ( 8 - 5 i ) = 16
( - 3 - 4 i ) + ( - 3 + 4 i ) = - 6
Representación gráfica de un número complejo : Z = 3 + 5 i
Suma de números complejos : se llama suma de dos o más números complejos al complejo que tiene como componente real la suma de las componentes reales y como componente imaginaria la suma de las componentes imaginarias de los números sumados .
En símbolos :
( a + b i ) + ( c + d i ) = (a+ c ) + ( b + d ) i
Ejemplo
( 2 + 6 i ) + ( 1 + 8 i ) = ( 2 + 1 ) + ( 6+ 8 ) i = 3 + 4 i
( 9 + 3 i ) + ( -8 + 4 i ) = ( 9 + ( -8) ) + ( 3 + 4 ) i = 1 + 7 i
Resta de números complejos : la diferencia entre dos números complejos es el complejo que tiene por componentes real e imaginaria , respectivamente la diferencia entre las componentes reales y entre las componentes imaginarias del minuendo y sustraendo .
En símbolos :
( a + b i ) - ( c + d i ) = (a- c ) + ( b - d ) i
Ejemplo
( 9 + 5i ) - ( 1 + 3 i ) = ( 9 - 1) + ( 5- 3 ) i = 8 + 2 i
Otra forma de resolver la resta transformandala en una suma , es decir al primer complejo sumarle el opuesto del segundo .
Ejemplo
( - 5 + 7 i ) - ( 4 - 6 i )
( - 5 + 7 i ) + ( -4 + 6 i ) = ( -5 + (-4 )) + ( 7 + 6 ) i = - 9 + 13 i
Multiplicación de números complejos : antes debemos considerar i² = -1 ; multiplicar dos números complejos se reduce a multiplicar dos binomios sumas ; luego habrá que multiplicar cada término del primero por cada término del segundo y sumar los productos parciales.
En símbolos :
( a + b i ) . ( c + d i ) = a . c + bi . c + a . di + bi . di
donde bi . di = b .d. i² y como i² = -1
bi . di = b.d .( -1 ) = - b . d entonces nos quedará
( a + b i ) . ( c + d i ) = a . c + bi . c + a . di - b . d
Ejemplo
( 5 + 7 i ) . ( 4 - 6 i ) = 5 . 4 + 5 . (-6i) + 7 i . 4 + 7 i . (-6 i) =
= 20 - 30 i + 28 i - 42 i²
= 20 - 30 i + 28 i - 42 . ( -1 )
= 20 - 30 i + 28 i + 42
= 62 - 2 i
División de números complejos : para dividir dos números complejos se multiplican el dividendo y el divisor por el conjugado del divisor y luego se efectuan las operaciones indicadas .
En símbolo :
a + b i = ( a + b i ) . ( c - d i ) = a . c + b i . c - a . d i - b i . d i² = a. c + b i . c - a . d i + b . d
c + di ( c + d i ) . ( c - d i ) c² + d² c² + d²
Ejemplo :
5 - 2 i = ( 5 - 2 i ) . ( 4 - 3 i ) = 5 . 4 + ( - 2 i ) . 4 + 5 . ( - 3 i ) + ( - 2 i ) . ( -3 i ) =
4 + 3 i ( 4 + 3 i ) . ( 4 - 3 i ) 4² + 3²
= 20 - 8 i - 15 i + 6 = 26 - 23 i = 26 - 23 i
16 + 9 25 25 25
Ejercitación
1) ( 6 + 5 i ) + ( 6 - 9 i )
2 ) (¾ + 5 i ) + ( 3 / 2 - 2 i )
3 ) (4 + ½ i ) + ( ¼ - 4 i )
4 ) ( 9 - 6 i ) - ( -2 + 4 i )
5 ) ( ¼ - 4 i ) - ( 2 + ¾ i )
6 ) ( 3 - 4 i ) . ( -6 + 3 i )
7 ) (½ + 5 i ) . ( ¾ - 2 i )
8 ) ( 6 + 7 i ) : ( 5 - 2 i )
9 ) ( ¼ - 8 i ) : ( -1 + 3 i )
10 ) ( - 8 - 5 i ) : ( ½ - i )
Entre los númeroas imaginarios se define la unidad imaginaria que se designa con la letra i , y tal que su cuadrado es igual a -1 .
Ejemplo : √-36 = ±6 i , en efecto ( ± 6 i )² = 6². i² = 36 . ( -1 ) = - 36
Los números complejos se definen se representan de la forma bínomica :a + b i
Donde a es la componente real , b es la componente imaginaria
.
Opuesto de un número complejo es interponer el signo negativo delante del número complejo , lo que hace este signo negativo es cambiar los signos de las componentes .
Z = -2+ 5 i
- Z = 2 - 5 i
Conjugado de un número complejo es cambiarle el signo a la componente imaginaria .
Z = 4 + 7 i
Z = 4 - 7 i
La suma de dos números complejos conjugados da por resultado un número real que es el duplo de la componente real .
Ejemplo : ( 8 + 5 i ) + ( 8 - 5 i ) = 16
( - 3 - 4 i ) + ( - 3 + 4 i ) = - 6
Representación gráfica de un número complejo : Z = 3 + 5 i
Suma de números complejos : se llama suma de dos o más números complejos al complejo que tiene como componente real la suma de las componentes reales y como componente imaginaria la suma de las componentes imaginarias de los números sumados .
En símbolos :
( a + b i ) + ( c + d i ) = (a+ c ) + ( b + d ) i
Ejemplo
( 2 + 6 i ) + ( 1 + 8 i ) = ( 2 + 1 ) + ( 6+ 8 ) i = 3 + 4 i
( 9 + 3 i ) + ( -8 + 4 i ) = ( 9 + ( -8) ) + ( 3 + 4 ) i = 1 + 7 i
Resta de números complejos : la diferencia entre dos números complejos es el complejo que tiene por componentes real e imaginaria , respectivamente la diferencia entre las componentes reales y entre las componentes imaginarias del minuendo y sustraendo .
En símbolos :
( a + b i ) - ( c + d i ) = (a- c ) + ( b - d ) i
Ejemplo
( 9 + 5i ) - ( 1 + 3 i ) = ( 9 - 1) + ( 5- 3 ) i = 8 + 2 i
Otra forma de resolver la resta transformandala en una suma , es decir al primer complejo sumarle el opuesto del segundo .
Ejemplo
( - 5 + 7 i ) - ( 4 - 6 i )
( - 5 + 7 i ) + ( -4 + 6 i ) = ( -5 + (-4 )) + ( 7 + 6 ) i = - 9 + 13 i
Multiplicación de números complejos : antes debemos considerar i² = -1 ; multiplicar dos números complejos se reduce a multiplicar dos binomios sumas ; luego habrá que multiplicar cada término del primero por cada término del segundo y sumar los productos parciales.
En símbolos :
( a + b i ) . ( c + d i ) = a . c + bi . c + a . di + bi . di
donde bi . di = b .d. i² y como i² = -1
bi . di = b.d .( -1 ) = - b . d entonces nos quedará
( a + b i ) . ( c + d i ) = a . c + bi . c + a . di - b . d
Ejemplo
( 5 + 7 i ) . ( 4 - 6 i ) = 5 . 4 + 5 . (-6i) + 7 i . 4 + 7 i . (-6 i) =
= 20 - 30 i + 28 i - 42 i²
= 20 - 30 i + 28 i - 42 . ( -1 )
= 20 - 30 i + 28 i + 42
= 62 - 2 i
División de números complejos : para dividir dos números complejos se multiplican el dividendo y el divisor por el conjugado del divisor y luego se efectuan las operaciones indicadas .
En símbolo :
a + b i = ( a + b i ) . ( c - d i ) = a . c + b i . c - a . d i - b i . d i² = a. c + b i . c - a . d i + b . d
c + di ( c + d i ) . ( c - d i ) c² + d² c² + d²
Ejemplo :
5 - 2 i = ( 5 - 2 i ) . ( 4 - 3 i ) = 5 . 4 + ( - 2 i ) . 4 + 5 . ( - 3 i ) + ( - 2 i ) . ( -3 i ) =
4 + 3 i ( 4 + 3 i ) . ( 4 - 3 i ) 4² + 3²
= 20 - 8 i - 15 i + 6 = 26 - 23 i = 26 - 23 i
16 + 9 25 25 25
Ejercitación
1) ( 6 + 5 i ) + ( 6 - 9 i )
2 ) (¾ + 5 i ) + ( 3 / 2 - 2 i )
3 ) (4 + ½ i ) + ( ¼ - 4 i )
4 ) ( 9 - 6 i ) - ( -2 + 4 i )
5 ) ( ¼ - 4 i ) - ( 2 + ¾ i )
6 ) ( 3 - 4 i ) . ( -6 + 3 i )
7 ) (½ + 5 i ) . ( ¾ - 2 i )
8 ) ( 6 + 7 i ) : ( 5 - 2 i )
9 ) ( ¼ - 8 i ) : ( -1 + 3 i )
10 ) ( - 8 - 5 i ) : ( ½ - i )
domingo, 6 de noviembre de 2011
Teorema del resto
window.google_analytics_uacct = "UA-26115543-1";
Teorema del resto : nos permite calcular directamente el resto de una división sin hacerla y anticipar si es una división exacta .
P(x) ∟(x - a) Q(x) . ( x - a) + R = P(x)
R Q(x)
Reemplazando todas las x por a :
Q(x) . ( x - a) + R = P(x)
Q(a) . ( a - a ) + R= P( a)
Q(a) . 0 + R = P(a)
R = P(a)
En el caso que de tener (x + a ) → R = P ( - a )
Ejemplo : (x² + 10 x + 25 ) : ( x - 5 )
Se reemplaza cada variable x por el valor x = 5
5² + 10 . 5 + 25 = 100
Resolver
a) ( 5 x² + 3 x - 14 ) : ( x - 2)
b ) ( 16 x + x² + 64 ) :( x + 8 )
c ) ( x³ + x - 5 ) : ( x - 4 )
Teorema del resto : nos permite calcular directamente el resto de una división sin hacerla y anticipar si es una división exacta .
P(x) ∟(x - a) Q(x) . ( x - a) + R = P(x)
R Q(x)
Reemplazando todas las x por a :
Q(x) . ( x - a) + R = P(x)
Q(a) . ( a - a ) + R= P( a)
Q(a) . 0 + R = P(a)
R = P(a)
En el caso que de tener (x + a ) → R = P ( - a )
Ejemplo : (x² + 10 x + 25 ) : ( x - 5 )
Se reemplaza cada variable x por el valor x = 5
5² + 10 . 5 + 25 = 100
Resolver
a) ( 5 x² + 3 x - 14 ) : ( x - 2)
b ) ( 16 x + x² + 64 ) :( x + 8 )
c ) ( x³ + x - 5 ) : ( x - 4 )
Regla de Ruffini
Regla de Ruffini : es un método simplificado de efectuar la división de ciertos polinomios, que se puede usar cuando el divisor es de la forma x - a , siendo a un número real .
Ejemplo : (5x³ - 4x - 42 ) : ( x - 3 )
Primer paso : se completa y se lo ordena de mayor a menor 5x³ + ox² - 4x - 42
Segundo paso :opuesto del término independiente del divisor x - 3 será 3
Tercer paso : se baja el primer coeficiente de la primer columna , en este caso es el 5 y se lo multiplica por 3 → 5 . 3 = 15
Se coloca debajo del coeficiente de la segunda columna , se resuelve y se repite el ciclo de operaciones .
Cociente : 5 x² + 15 x + 41
Resto : 81
Resolver las siguientes divisiones aplicando Ruffini . Indicar el cociente y el resto .
a) ( 8x³ - 3x + 4 ) : (x - 4)
b ) ( 5x² - 1 ) : ( x - 5 )
c ) ( x³ - 3x - 30 ) : ( x + 2 )
d ) ( 1 + x² ) : ( x - 1 )
e ) ( x² + x³ - 2 ) : ( x + 3 )
Ejemplo : (5x³ - 4x - 42 ) : ( x - 3 )
Primer paso : se completa y se lo ordena de mayor a menor 5x³ + ox² - 4x - 42
Segundo paso :opuesto del término independiente del divisor x - 3 será 3
Tercer paso : se baja el primer coeficiente de la primer columna , en este caso es el 5 y se lo multiplica por 3 → 5 . 3 = 15
Se coloca debajo del coeficiente de la segunda columna , se resuelve y se repite el ciclo de operaciones .
3 | 5 | 0 15 | -4 45 | -42 123 |
| 5 | 15 | 41 | 81 |
Resto : 81
Resolver las siguientes divisiones aplicando Ruffini . Indicar el cociente y el resto .
a) ( 8x³ - 3x + 4 ) : (x - 4)
b ) ( 5x² - 1 ) : ( x - 5 )
c ) ( x³ - 3x - 30 ) : ( x + 2 )
d ) ( 1 + x² ) : ( x - 1 )
e ) ( x² + x³ - 2 ) : ( x + 3 )
Porcentaje
Porcentaje : cuando tomamos un porcentaje de una cantidad indica que tomamos una fracción de la misma . El porcentaje es una parte de un entero que está dividido en 100 partes iguales .
Así, el 40 % significa tomar 40 partes de 100 .
Problemas
- El 40 % de los alumnos de una escuela son varones . Si el total de alumnos son 600 , ¿ cuántos de ellos son varones ?
100 % .............. 600 alumnos
40 % ................ x
100 = 600 → x = 600 . 40 → x = 240
40 x 100
En total hay 240 alumnos
- Si queremos comprar un artículo cuyo valor es de $80 , el descuento es del 10 % ¿ cuál sera el valor final ?
100 % ......... $ 80
10 % ........... x
100 = 80 → x = 80 . 10 → x = 8
10 x 100
El 10 % de $ 80 es $ 8 ;el valor final será : $80 - $8 = $ 72
- El recargo del 12 % que se aplicó por mora en el pago del servicio eléctrico fue $ 24 . ¿ cuál será monto final sin el recargo ?
12 % ........... $ 24
100%.......... x
12 = 24 → x = 24 . 100 → x = 200
100 x 12
El monto original sin el recargo es de $ 200
- Si el precio de un electrodoméstico es de $ 1500 , y por pago en cuotas me hacen un recargo del 15 % . ¿ cuál será el precio final que abonaré ?
100 % .......... $ 1500
15 % ............ x
100 = 1500 → x = 15 . 1500 → x = 225
15 x 100
El 15 % de $ 1500 es $ 225 ; el valor final será : $ 1500 + $ 225 = $ 1725
Plantear y resolver los siguientes problemas :
a ) De los 30 alumnos de un curso , el 20 % faltaron a la prueba de Lengua . ¿ qué cantidad de alumnos estuvieron ausente ? sol 6 ausentes
b ) Carla compró una computadora que costaba $ 2560 . Por pago cointado le hacen un descuento del 5% . ¿ cuánto pagó por la misma ? sol $ 2432
c ) En la función de teatro había sentadas 160 personas . Si el 20 % de las butacas estaban vacías . ¿ qué capacidad tiene la sala ? sol 200 butacas
Así, el 40 % significa tomar 40 partes de 100 .
Problemas
- El 40 % de los alumnos de una escuela son varones . Si el total de alumnos son 600 , ¿ cuántos de ellos son varones ?
100 % .............. 600 alumnos
40 % ................ x
100 = 600 → x = 600 . 40 → x = 240
40 x 100
En total hay 240 alumnos
- Si queremos comprar un artículo cuyo valor es de $80 , el descuento es del 10 % ¿ cuál sera el valor final ?
100 % ......... $ 80
10 % ........... x
100 = 80 → x = 80 . 10 → x = 8
10 x 100
El 10 % de $ 80 es $ 8 ;el valor final será : $80 - $8 = $ 72
- El recargo del 12 % que se aplicó por mora en el pago del servicio eléctrico fue $ 24 . ¿ cuál será monto final sin el recargo ?
12 % ........... $ 24
100%.......... x
12 = 24 → x = 24 . 100 → x = 200
100 x 12
El monto original sin el recargo es de $ 200
- Si el precio de un electrodoméstico es de $ 1500 , y por pago en cuotas me hacen un recargo del 15 % . ¿ cuál será el precio final que abonaré ?
100 % .......... $ 1500
15 % ............ x
100 = 1500 → x = 15 . 1500 → x = 225
15 x 100
El 15 % de $ 1500 es $ 225 ; el valor final será : $ 1500 + $ 225 = $ 1725
Plantear y resolver los siguientes problemas :
a ) De los 30 alumnos de un curso , el 20 % faltaron a la prueba de Lengua . ¿ qué cantidad de alumnos estuvieron ausente ? sol 6 ausentes
b ) Carla compró una computadora que costaba $ 2560 . Por pago cointado le hacen un descuento del 5% . ¿ cuánto pagó por la misma ? sol $ 2432
c ) En la función de teatro había sentadas 160 personas . Si el 20 % de las butacas estaban vacías . ¿ qué capacidad tiene la sala ? sol 200 butacas
sábado, 5 de noviembre de 2011
Regla de tres simple inversa
Regla de tres simple inversa : permite plantear y resolver problemas entre magnitudes inversamente proporcionales .
Si 10 operarios realizan un trabajo en 25 días , ¿ cuánto tardarán 15 operarios en realizar el mismo trabajo ?
6 oper ........ 15 d
9 oper......... x d
6 = x → x = 6 . 15 →x = 10
9 15 9
Los operarios tardarán 10 días .
Las magnitudes son inversamente proporcionales , ya que al aumentar el número de operarios , disminuyen los días de trabajo .
Problemas
a ) Para cubrir un patio son necesarias 60 baldosas cuadradas de 20 cm de lado . ¿ cuántas baldosas cuadradas de 25 cm de lado se necesitarán para cubrir el mismo patio ? sol 48 bal
b ) Un granjero compró 125 aves a $ 4,40 cada una . ¿ cuántas aves hubiese comprado con el mismo dinero si el costo era de $ 5,50 cada una ? sol 100 aves
c ) Cierta cantidad de comida alcanza para alimentar a 525 personas durante 68 días . ¿ para cuántos días alcanzara la misma cantidad si son 350 personas ? sol 102 días
Si 10 operarios realizan un trabajo en 25 días , ¿ cuánto tardarán 15 operarios en realizar el mismo trabajo ?
6 oper ........ 15 d
9 oper......... x d
6 = x → x = 6 . 15 →x = 10
9 15 9
Los operarios tardarán 10 días .
Las magnitudes son inversamente proporcionales , ya que al aumentar el número de operarios , disminuyen los días de trabajo .
Problemas
a ) Para cubrir un patio son necesarias 60 baldosas cuadradas de 20 cm de lado . ¿ cuántas baldosas cuadradas de 25 cm de lado se necesitarán para cubrir el mismo patio ? sol 48 bal
b ) Un granjero compró 125 aves a $ 4,40 cada una . ¿ cuántas aves hubiese comprado con el mismo dinero si el costo era de $ 5,50 cada una ? sol 100 aves
c ) Cierta cantidad de comida alcanza para alimentar a 525 personas durante 68 días . ¿ para cuántos días alcanzara la misma cantidad si son 350 personas ? sol 102 días
Regla de tres simple directa
Regla de tres simple directa : permite plantear y resolver problemas entre magnitudes directamente proporcionales .
Si 4 entradas a un teatro cuesta $ 50 , ¿ cuánto costarán 8 entradas para ver el mismo espectáculo en la misma ubicación ?
4 ........... $ 50
8 ............$ x
4 = 50 → 4 . x = 50 . 8 → x = 50 .8 → x = 100
8 x 4
Las magnitudes son directamente proporcionales , ya que al aumentar la cantidad de entradas aumenta el importe a pagar .
Problemas
a ) Si 5 pasajes a Entre Rios cuestan $ 125 ¿ cuánto costarán 12 pasajes ? sol $ 300
b ) una fábrica emplea 5 horas para fabricar 4000 tuercas de la misma medida . ¿ cuántas tuercas iguales a las anteriores , fabricaran en 8 horas ? sol 6400 tuercas
c ) para pintar 30 m² de pared se necesitan 2 ,5 litros de pintura . ¿ que cantidad de m² de pared cubrirán 12 litros de pintura ? sol 144 m² de pared
Si 4 entradas a un teatro cuesta $ 50 , ¿ cuánto costarán 8 entradas para ver el mismo espectáculo en la misma ubicación ?
4 ........... $ 50
8 ............$ x
4 = 50 → 4 . x = 50 . 8 → x = 50 .8 → x = 100
8 x 4
Las magnitudes son directamente proporcionales , ya que al aumentar la cantidad de entradas aumenta el importe a pagar .
Problemas
a ) Si 5 pasajes a Entre Rios cuestan $ 125 ¿ cuánto costarán 12 pasajes ? sol $ 300
b ) una fábrica emplea 5 horas para fabricar 4000 tuercas de la misma medida . ¿ cuántas tuercas iguales a las anteriores , fabricaran en 8 horas ? sol 6400 tuercas
c ) para pintar 30 m² de pared se necesitan 2 ,5 litros de pintura . ¿ que cantidad de m² de pared cubrirán 12 litros de pintura ? sol 144 m² de pared
Proporcionalidad inversa
Proporcionalidad inversa : dos magnitudes x e y , son inversamente proporcionales cuando el producto entre los pares de cantidades correspondientes es consstante .
x . y = K → constante de proporcionalidad
Dadas dos magnitudes inversamente proporcionales , si al multiplicar una de ellas por un número , la cantidadcorrespondiente a la otra magnitud queda dividida por el mismo número .
Completar el siguiente cuadro
Primero debemos obtener la constante de proporcionalidad inversa
K = x . y → K = 60 . 10 = 600 por lo tanto ecuación quedara y = K
x
Para 5 kg nos queda y = 600 / 5 = 30
Para 10 kg nos queda y = 600 / 10 = 60 ; asi sucesivamente se saca para los demas valores de x
Completar . Cuadro 1
Completar . Cuadro 2
Solución Cuadro 1
100 km/ h → 6 horas ; 50 km / h → 12 horas ; 150 km / h → 4 horas ;
75 km / h → 8 horas , 200 km/ h → 3 horas
Solución Cuadro 2
3 alf x caja es 40 ; 6 es 20 ; 12 es 10 ; 24 es 5 ; 30 es 4 ; 60 es 2
x . y = K → constante de proporcionalidad
Dadas dos magnitudes inversamente proporcionales , si al multiplicar una de ellas por un número , la cantidadcorrespondiente a la otra magnitud queda dividida por el mismo número .
Completar el siguiente cuadro
| Kg por paquete | Cantidad de paquetes |
| 5 | 120 |
| 10 | 60 |
| 20 | 30 |
| 30 | 20 |
| 60 | 10 |
| 100 | 6 |
K = x . y → K = 60 . 10 = 600 por lo tanto ecuación quedara y = K
x
Para 5 kg nos queda y = 600 / 5 = 30
Para 10 kg nos queda y = 600 / 10 = 60 ; asi sucesivamente se saca para los demas valores de x
Completar . Cuadro 1
| Velocidad en km / h | Tiempo en horas |
| 100 | |
| 50 | |
| 150 | 4 |
| 75 | |
| 200 |
| Alfajores por caja | Cantidad de cajas |
| 3 | |
| 6 | |
| 12 | 10 |
| 24 | |
| 30 | |
| 60 |
100 km/ h → 6 horas ; 50 km / h → 12 horas ; 150 km / h → 4 horas ;
75 km / h → 8 horas , 200 km/ h → 3 horas
Solución Cuadro 2
3 alf x caja es 40 ; 6 es 20 ; 12 es 10 ; 24 es 5 ; 30 es 4 ; 60 es 2
Proporcionalidad directa
Proporcionalidad directa: dos magnitudes , x e y , son directamente proporcionales cuando la razón entre los pares de cantidades correspondientes es constante ( y al cero le correspode el cero )
y = K → constante de proporcionalidad
x
Dadas dos magnitudes directamente proporcionales , si al multiplicar ( o dividir ) una de ellas por un número , la cantidad correspondiente a la otra magnitud queda multiplicada ( o dividida ) por el mismo número .
Completar el siguiente cuadro
Primero debemos obtener la constante de proporcionalidad directa
y = K → 72 = 6 por lo tanto la ecuación quedara y = K . x
x 12
Para 10 libros nos queda ; y = 6 . 10 = 60
Para 20 libros nos queda ; y = 6 . 20 = 120
Para 8 libros nos queda ; y = 6 . 8 = 48
Para obtener x , debemos despejarla de la ecuación y = K . x
x = y → y = 90 = 15
K 6
Completar . Cuadro 1
Completar . Cuadro 2
Solución Cuadro 1
24 minutos→ 50km ; 2 horas → 250 km ; 3 horas , 12 minutos → 400 km
1 hora → 125 km ; 5 horas → 625 km
Solución cuadro 2
6 ent → 90 $ ; 8 ent → 120 $ ; 9 ent →135 $ ; 12 ent → 180 $ ; 10 ent → 150
y = K → constante de proporcionalidad
x
Dadas dos magnitudes directamente proporcionales , si al multiplicar ( o dividir ) una de ellas por un número , la cantidad correspondiente a la otra magnitud queda multiplicada ( o dividida ) por el mismo número .
Completar el siguiente cuadro
| Cantidad de libros | Precio |
| 12 | 72 |
| 10 | 60 |
| 20 | 120 |
| 8 | 48 |
| 15 | 90 |
y = K → 72 = 6 por lo tanto la ecuación quedara y = K . x
x 12
Para 10 libros nos queda ; y = 6 . 10 = 60
Para 20 libros nos queda ; y = 6 . 20 = 120
Para 8 libros nos queda ; y = 6 . 8 = 48
Para obtener x , debemos despejarla de la ecuación y = K . x
x = y → y = 90 = 15
K 6
Completar . Cuadro 1
| Tiempo ( horas ) | Distancia ( km ) |
| 50 | |
| 2 | 250 |
| 400 | |
| 125 | |
| 5 |
Completar . Cuadro 2
| Números de entradas | Precio |
| 6 | 90 |
| 8 | |
| 135 | |
| 12 | |
| 150 |
24 minutos→ 50km ; 2 horas → 250 km ; 3 horas , 12 minutos → 400 km
1 hora → 125 km ; 5 horas → 625 km
Solución cuadro 2
6 ent → 90 $ ; 8 ent → 120 $ ; 9 ent →135 $ ; 12 ent → 180 $ ; 10 ent → 150
viernes, 4 de noviembre de 2011
Escala
Escala :es la proporción de aumento o disminución que existe entre las dimensiones reales y las dimensiones representadas de un objeto ; para representar un objeto de grandes dimensiones, deben dividirse todas sus medidas por un factor mayor que uno, en este caso denominado escala de reducción; y para representar objetos de pequeñas dimensiones, todas sus medidas se multiplican por un factor mayor que uno, denominado escala de ampliación.Para conocer la medida real de un objeto se debe conocer la escala en que fue dibujado , es decir la proporción en que se aumentó o se lo redujo .
Se define como escala el cociente entre la longitud dibujada y la real .
E = l : L E = escala ; l = longitud del dibujo , L= longitud real
Longitud real es : L = l : E
Longitud del dibujo : l = L . E
Ejercicio : un faro de 120 metros se representó en un dibujo con 20 cm .
Solución
E = l : L → E = 20 cm : 12000 cm
Se utilizó una E = 1 / 600
Se define como escala el cociente entre la longitud dibujada y la real .
E = l : L E = escala ; l = longitud del dibujo , L= longitud real
Longitud real es : L = l : E
Longitud del dibujo : l = L . E
Ejercicio : un faro de 120 metros se representó en un dibujo con 20 cm .
Solución
E = l : L → E = 20 cm : 12000 cm
Se utilizó una E = 1 / 600
Propiedades de las proporciones
Propiedad 1 : en toda proporción , la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su consecuente , como la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su consecuente .
a = c → a + b = c + d
b d b d
a = c → a - b = c - d
b d b d
Propiedad 2 : en toda proporción , la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su antecedente , como la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su antecedente .
a = c → a + b = c + d
b d a c
a = c → a - b = c - d
b d a c
Propiedad 3 : en toda proporción, la suma entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a la diferencia entre los mismos , como la suma entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a la diferencia de los mismos .
a = c → a + b = c + d
b d a - b c - d
Serie de razones iguales : una serie de razones iguales es una igualdad entre dos o más razones .
a = c = e = m
b d f n
Propiedad 4 : en toda serie de razones iguales la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes , como uno de los antecedentes es a su consecuente .
a = c = e = m = a + c + e+ m
b d f n b+ d + f+ n
Ejercicio 1
Hallar los valores desconocidos de la siguiente serie de razones iguales .
4 = 5 = 1 ↔ 4 = 1 → 4 . 3 = b . 1 → b = 12
b d 3 b 3
5 = 1 → 5 . 3 = 1 . d → d = 15
d 3
4 = 5 = 1 ↔ 4 = 5 = 1
b d 3 12 15 3
Ejercicio 2 . Aplicar las propiedades de las proporciones .
a) a+ b = 9 ; a / b = 1 / 2
a = c → a + b = c + d
b d b d
9 = 1 + 2 → 9 = 3 → 9 . 2 = 3 . b → b = 9 . 2 = 6
b 2 b 2 3
a + b = 9
a + 6 = 9 ↔ a = 9 - 6 → a = 3
b) a - b = 2 ; a / b = 4 /3
a = c → a - b = c - d
b d a c
2 = 4 - 3 → 2 = 1 → 2 . 4 = a . 1 → a = 2 . 4 = 8
a 4 a 4 1
a - b = 2
8 - b = 2 ↔ b = 8 - 2 = 6
Resolver
a ) a + b = 5 y la razón es 1,5 solución 2 y 3
b ) a - b = - 1 y la razón entre ellos 0,875 solución 7 y 8
a = c → a + b = c + d
b d b d
a = c → a - b = c - d
b d b d
Propiedad 2 : en toda proporción , la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su antecedente , como la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su antecedente .
a = c → a + b = c + d
b d a c
a = c → a - b = c - d
b d a c
Propiedad 3 : en toda proporción, la suma entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a la diferencia entre los mismos , como la suma entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a la diferencia de los mismos .
a = c → a + b = c + d
b d a - b c - d
Serie de razones iguales : una serie de razones iguales es una igualdad entre dos o más razones .
a = c = e = m
b d f n
Propiedad 4 : en toda serie de razones iguales la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes , como uno de los antecedentes es a su consecuente .
a = c = e = m = a + c + e+ m
b d f n b+ d + f+ n
Ejercicio 1
Hallar los valores desconocidos de la siguiente serie de razones iguales .
4 = 5 = 1 ↔ 4 = 1 → 4 . 3 = b . 1 → b = 12
b d 3 b 3
5 = 1 → 5 . 3 = 1 . d → d = 15
d 3
4 = 5 = 1 ↔ 4 = 5 = 1
b d 3 12 15 3
Ejercicio 2 . Aplicar las propiedades de las proporciones .
a) a+ b = 9 ; a / b = 1 / 2
a = c → a + b = c + d
b d b d
9 = 1 + 2 → 9 = 3 → 9 . 2 = 3 . b → b = 9 . 2 = 6
b 2 b 2 3
a + b = 9
a + 6 = 9 ↔ a = 9 - 6 → a = 3
b) a - b = 2 ; a / b = 4 /3
a = c → a - b = c - d
b d a c
2 = 4 - 3 → 2 = 1 → 2 . 4 = a . 1 → a = 2 . 4 = 8
a 4 a 4 1
a - b = 2
8 - b = 2 ↔ b = 8 - 2 = 6
Resolver
a ) a + b = 5 y la razón es 1,5 solución 2 y 3
b ) a - b = - 1 y la razón entre ellos 0,875 solución 7 y 8
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