lunes, 14 de noviembre de 2011

Forma canónica y factorizada de una función cuadrática

Forma polinómica :    a x² + b x + c

Forma factorizada :    f ( x ) = a . ( x -x1 ) . ( x - x2 )  ;  x1 y x2 son raíces

Forma  canónica    :     f ( x ) = a . ( x - xv ) ² + yv  ;  coordenadas vértice ( xv ; yv )

Ejemplo

Forma polinómica :  x²+ x - 6

Las raíces de esta ecuación son :  x1 = 2 y x = - 3

Forma factorizada :    f ( x ) = a . ( x -x1 ) . ( x - x2 )

Remplazando en   :     f( x )     =   1 . ( x - 2 ) . ( x + 3 )

Coordenadas del vértice V ( - 1 ; - 6)

Forma  canónica    :     f ( x ) = a . ( x - xv ) ² + yv

Remplazando en   :      f ( x )  =  1 . ( x + 1/2 ) ² - 6

Calcular

Pasar a la forma canónica y factorizada la siguiente función polinómica :

a ) x² - 4 x + 3 = 0

b ) x² + 3 x - 10 = 0

c ) x² - 8 x + 7 = 0

Discriminante

Discriminante es la expresión   Δ = b² - 4 . a .c 

Se presentan 3 situaciones con respecto al discriminante :



1 ) Δ > 0 , en este caso la función tiene dos raíces reales distintas , y su gráfica corta al eje x en dos puntos .

2 ) Δ = 0 , en este caso la función tiene una sola raíz igual , y su gráfica tiene un solo punto de contacto con el eje x .

3 ) Δ< 0  , en este caso la función no tiene raíces reales  y su gráfica no tiene contacto con el eje x .

Calcular si tienen sooluciones reales

a ) x² + 2 x - 1 = 0

b) 8 x² - 3 x + 1 = 0

c) 5 x² + 3 = 0

d ) x² - 5 x + 2 = 0

e ) 1 - 9 x² = 0

Soluciones

a) 2

b) ninguna

c ) ninguna

d) 2

e ) 2

Encontrar los posibles de k para las siguientes ecuaciones  que cumplan con las condiciones pedidas en cada caso :

1 ) Δ< 0

 3 x² - x + k = 0    ;   aplicamos el discriminate

1² - 4 . 3 . k < 0

               1  < 12 k

         1 / 12 < k

2 ) Δ = 0

x² + k x + 4 = 0 ; aplicamos discriminante

k² - 4 .1 . 4 = 0

               k² = 16

               k = ± √ 16

               k = ± 4


3) Δ > 0

x² + k x + 6 = 0 ; aplicamos discriminante

  k² - 4 . 1 . 6 > 0

                   k² > 24

                    k >   √24     

                    k < - √24

Gráfica de una función cuadrática

Para graficar  una función cuadrática  : f ( x ) = x² + 2 x - 8

- Hallamos sus raíces aplicando la fórmula de la resolvente :




- Encontramos la ecuación del eje simetría , que pasa por la abscisa del vértice :

Xv = x1 + x2 =  - 1    o tambíen  Xv =   - b
              2                                      2 . a
 

-Para sacar Yv  , reemplazamos el valor de Xv en nuestra ecuación cuadrática :

f ( x )  =  x² + 2 x - 8

f ( Xv) = ( - 1 ) ² + 2 . ( - 1 ) - 8 = - 9

Coordenadas del vértice V( - 1 ; - 9 )

- Se clcula la ordenada al origen , reemplazamos en la ecuación cuadrática por el valor x = 0

f ( x )  =  x² + 2 x - 8

f ( 0 )  =  0² + 2 . o - 8 = - 8

Ordenada al origen y = - 8 , corta al eje y .

Ahora podemos construir nuestra gráfica



Graficar las siguientes funciones cuadráticas

a)  y =  x² - 2x + 1

b ) y = 2 x² - 8

c ) y = x² - x - 6

d ) ½ x² + ¾ x - ½

domingo, 13 de noviembre de 2011

Función cuadrática completa

Cuando función cuadrática está completa es decir es de la forma ax² + b x + c = 0 , se puede obtener las raíces o ceros de la función aplicando la fórmula resolvente .

 
Resolver

a ) 2 x² - 12 x + 10

b) x² + 4 x + 1 = 7 - x²

c ) x . ( x + 1 ) = - 1

Soluciones

a )     x1 = 5             x2 = 1       
  
b )  x1 =   1            x2 = - 3        
  
c ) x = - 1

Hallar el valor de x de cada una de las siguientes figuras , longitudes en cm y áreas en cm²



Solución

a ) debemos aplicar el teorema de Pitágoras para hallar el valor de x

(x - 5) ² + (x) ² = ( x + 5 ) ²   realizamos los cuadrados de un binomio

- 10 x + 25 + x² = + 10 x + 25   cancelamos

x² -  10 x  - 10 x = 0

x² - 20 x = 0         sacamos factor común

x . ( x - 20 ) = 0

x1 = 0      ;        x - 20 = 0

x2 = 20 cm

Valor es x  = 20 ; reemplazamos este valor para verificarlo

(x - 5) ² + (x) ² = ( x + 5 ) ² 

(20 - 5) ² + (20) ² = ( 20+ 5 ) ²

625 cm = 625 cm

b ) en este ejercicio usamos la fórmula de área de un rectángulo

A = base x altura

A = b . h  reemplazamos los datos dados

150 = ( 2 x - 5 ) . ( x )

150 = 2 x² - 5 x          igualamos a cero y obtenemos una función cuadática

2 x² - 5 x - 150 = 0

x1 = 10     ;     x2 = - 7,5

Usamos el valor positivo x = 10 y lo reemplazamos para verificarlo

       150 = ( 2 x - 5 ) . ( x ) 

       150 = ( 2 .10 - 5 ) . ( 10 )

150 cm² = 150 cm²





               

Función cuadrática incompleta

Decimos que una ecuación cuadrática es incompleta cuando alguno de sus coeficientes b o c , o ambos son nulos.
Caso 1 : nos falta el coeficiente del término lineal 
x² - 4 = 0
x²  = 4 
x1 = 2             
x2 = -2
                                                           Caso 2 : nos falta el término independiente

- 3 x² + 6 x      = 0    sacamos factor común

x . ( - 3 x + 6 ) = 0

x1 = 0        ;        - 3 x + 6 = 0
                                       6= 3 x
                                  6 : 3 = x
                                      2  =  x2
Resolver las siguientes ecuaciones en R , cuando sea posible :

a ) x² - 9 = 0

b ) + 4 = 0

c ) 1 - x² = 0

d ) 3 x - x² = 3 x - 2

e ) 4 x² + 3 x = 0

f ) x ( 3 x - 2 ) = x² - 5 x

g ) x ( x + 2 ) = 2 x ( x - 1 )

Soluciones

a )  x1 = 3     x2 = -3

b ) no tiene solución R

c ) x1 = 1      X2 = -1

d ) x1 =  √2      x2 = - √2

e ) x1 = 0      x2 = - 3 / 4

f ) x1 = 0      x2 = - 3 / 2

g ) x1 = 0      x2 = 4

sábado, 12 de noviembre de 2011

Función cuadrática

Función cuadrática : es toda función que puede expresarse de la forma :

f ( x ) = a x² b x + c    donde   a≠ 0

a ε R→ coeficiente principal o cuadrático  a≠ 0

b ε R → coeficiente del término lineal

c ε  R → término independiente

- El dominio natural de estas funciones es R , y al representarse gráficamente , se obtiene una curva llamada parábola .

- Cada parábola presenta un eje de simetría paralelo al eje y de ordenadas , sobre él  y un punto llamado vértice en que la curva pasa de ser creciente a decreciente o viceversa .

-  Los ceros o raíces reales de una función cuadrática son las abscisas de los puntos de contacto entre su gráfica y el eje de las x .

Recordemos que  si el coeficiente principal a es positivo las ramas de la parábola van hacia arriba y si es negativo van hacia abajo las ramas de la misma .

Ejemplo : mediante una tabla de valores graficar f ( x ) = x² - 2x - 8





Realizar una gráfica aproximada de las siguientes funciones cuadráticas
a ) x² - 9

b ) x² - x - 2

c ) - x² + 4

Función polinómica.Gráfica

Se puede obtener una representación gráfica aproximada de una función polinómica , sin hacer una tabla de valores. Debemos tener en cuenta los siguientes pasos :

- El dominio es R y es continua

- La ordenada al origen , f ( 0 ) , es el término independiente .

- La curva tiene contacto con el eje de las abscisas en los puntos en los que x = r , donde r es cada raíz real del polinomio . Si la multiplicidad es impar , la curva "atraviesa" el eje x ; si la multiplicidad es par , la curva "rebota" sin atravesarlo .

- Entre raíces consecutivas , las imágenes de la función son todas positivas o todas negativas .

- A la derecha ( izquierda) de la mayor ( menor ) de las raíces , las imágenes de la función son todas positivas o todas negativas .

Ejemplo :  

              f(x) = ( x - 2 ) ² . ( x - 1 ) . ( x + 1 ) ³



Para esta función tenemos   las siguientes raíces :

( x + 1 )³ → despejando x nos queda x = - 1 ; multiplicidad 3 es impar

( x - 2 )² → despejando x nos queda x =  2 ; multiplicidad  2 es par

( x - 1 )  → despejando x nos queda x =  1 ; multiplicidad 1 es impar

Hallar la gráfica aproximada de la siguiente función

f ( x ) = 2 . ( x - 1 ) . ( x + 2 )² . ( x - 3 )³