Valor absoluto de un número real

Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.

 

|4| = 4            |-4 |= 4      |0| = 0

|x| = 8          x = −8         x = 8 

|x|< 8       − 8< x < 8      x (−8, 8 ) 

|x|> 9            x< 9 ó x>9     (−∞, 9 ) (9, +∞)

|x −3 |< 5     − 5 < x − 3 < 5    

 − 5 + 3< x <  5 + 3     − 2 < x < 8

Propiedades del valor absoluto

 

1-Los números opuestos tienen igual valor absoluto.

|a| = |−a|

|3| = |−3| =3

2-El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

|a · b| = |a| ·|b|

 

|4 · (−3)| = |4| · |(−3)|      |− 12| = |4| · |3|     12 = 12

3-El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.

|a + b| ≤ |a| + |b|

 

|7 + (−5)| ≤ |7| + |(−5)|      |2| = |7| + |5|     2 ≤ 12

Distancia

La distancia entre dos números reales a y b, que se escribe d(a, b), se define como el valor absoluto de la diferencia de ambos números:

d(a, b) = |b − a|

La distancia entre −3 y 4 es: 

d(−3, 4) = |4 − (−3)| = |4 + 3| = |7| 

Unidad de superficie y agrarias

La  unidad de superficie es el metro cuadrado , que es la superficie de un cuadrado de un metro de lado .
Tabla de unidades

	Kilometro  cuadrado	km2	1.000.000 m2
Múltiplos	hectómetro cuadrado	hm2	10.000 m2
	decámetro cuadrado	dam2	100 m2
Unidad	metro cuadrado	m2	1 m2
	decímetro cuadrado	dm2	0,01m2
Submúltiplos	centímetro cuadrado	cm2	0,0001 m2
	milímetro cuadrado	mm2	0,000001m2

Las medidas agrarias son las utilizadas en el campo y son equivalentes con las de superficie ; la unidad agraria es el área ( 1 dam² ) .

Equivalencias :

1 ha = 1 hm²
1 a =  1 dam²
1 ca = 1 m²

Completar el siguiente cuadro .

a) 37,2 dm²             ...............m²             372.000 ..............                .....................ha
b) 0,009 km²           0,9..............              9000 ...................                ......................a
c) 25 ca                    ................a              250.000.............                  ...................km²
d )128,2 cm²            0,0182........              .......................ha                  .................mm²
e) 312 a                    ..............km²          3.120.000........                       ...................ha 
Soluciones

a ) 0,0372 ; mm² , 0,0000372
b) hm² ; m² ; 90
c) 0,25 ; cm² ; 0,000025
d) m²  ; 0,000001282 ; 12.820
e) 0,0312 ; dm² ; 3,12

Actividad . P olinomios

Dados los siguientes polinomios :

A(x) = x                   C(x) = x +1            E(x) = x² -1
B(x) = x - 1              D(x) = x² +1          F(x) = -x³+ 2x² - 3x +4

Resuelvan los siguientes cálculos combinados .

1 ) D(x) . E(x) + F(x) =

2) [ F(x) + 4 . E(x)] : A(x) =

3) E(x) : C(x) - [B(x)]² =

4) [E(x) ]² : B(x) + [A(x) ]³ =

5) F(x) . D(x) - [ C(x) ]³ =

6) [ D(x) ]² - E(x) : B(x) =

Soluciones

1 ) D(x) . E(x) + F(x) = ( x² +1 ) . (x² - 1 ) + ( -x³ + 2 x² - 3x + 4 )

=  x⁴ – x² + x² -1 – x³ + 2x² -3x +4 =

=  x⁴ – x³+ 2x² – 3x + 3

2 ) - x² + 6 x - 3

3) ( x² - 1 ) : ( x + 1 ) - [ (x - 1 )²] = ( x - 1 ) - [ x² - 2x +1 ]

= x - 1 - x² + 2x - 1

= - x² + 3 x - 2

4) 2 x³ + x² - x - 1

5)  - x⁵ + 2 x⁴ - 5 x³ + 3 x² – 6x +3

6 )  x⁴ + 2 x² - x

División de polinomios

Para dividir dos monomios deben dividirse los coeficientes y las variables entre sí ,aplicando las reglasde los signos y las propiedades de la potenciación .

x^a : x^b = x^{a - b}

a) ( 4 x³ ) : ( - 2x ) = -2 x²
b) ( -15 x³ ) : ( -5x² ) = 3 x
c ) - x² : ( - 2x ) =  ½ x

Para dividir un polinomio por un monomio se aplica la propiedad distributiva de la división respecto de la suma y resta , por último se dividen monomios en cada uno de los términos .

( a + b - c ) : d = a : d + b : d - c : d

(4x³ -8x² -16x ) : ( 2x) = (4x³) : ( 2x) – (8x²) : (2x) – (16x) : (2x)
= 2 x² – 4x - 8

Para dividir dos polinomios :el polinomio dividendo debe tener mayor o igual grado que el divisor ;el polinomio dividendo debe estar completo y ordenado ; el polinomio divisor debe estar ordenado .

30 x² - 26 x + 9 ∟3x +1
-30 x² -10x           10 x -12
0 x² - 36 x + 9
        +36 x + 12
          0 x    +  21

Cociente = 10 x -12
Resto = 21

D ∟d          D = dividendo , d = divisor ,r =resto ; c = cociente
r    c

P(x) ∟Q(x)            P(x) = C(x) . Q(x) + R(x)
R(x)   C(x)    

Hallar el cociente y resto de cada una de las siguientes divisiones


1)      ( -3 x² + 5 x – 2) : ( x -2 ) =
2)      ( 5 x⁴ -12 x² + 8 x -16) : ( x² -1 ) =
3)      ( 2 x⁵ +4 x⁴ + 6 x² + 2 x ) : (-x³ + x ) =

Multiplicación de polinomios

Para multiplicar dos monomios deben multiplicarse los coeficientes y las determinadas entre sí ,aplicando la regla de los signos y las propiedades de la potenciación .

 x^a . x^b = x^a+b

(x^a ) ^b = x ^{a . b}

a ) 3x . 3x = 9 x²
b) - 5x² . 2x = -10x³
c) – 4x³ . – 5x² = 20 x⁵

Para multiplicar dos polinomios se aplica propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma y resta , realizando la multiplicaciUn de monomios .

Dados los polinomios : P(x) = 3 x² + 2 x  ; Q( x )= - 3 x³ + 4 x²

(3 x² + 2 x ) .  (- 3 x³ + 4 x² ) = (3x²) . (-3x³)+ (3x²) . (4x²)+ (2x) . (-3x³)+ (2x). (4x²)

= - 9x⁵ +12x⁴ – 6x⁴ + 8x³

= -9x⁵ + 6x⁴ + 8x³

Resolver los siguientes productos : hay que tener en cuenta que hay que ordenarlo y completarlo para resolverlo.

1)      ( 5x² + 3x – 3).(-3x )=

2)      (-4x³ +5x -6 ) .(x- 3)=

3)      ( -2x² – 3x³ + 2).(x² – 2)=

4)      (x⁴ -3x² +7x ) .(-2x³ +9x +5)=

5)      (-3x³+6x -4 ) .(x³ -2)=

Suma y Resta de polinomios

Para suma y resta trabajamos con términos que tienen la misma variable y exponente , estos se llaman términos semejantes .

Para sumar o restar polinomios , se debensumar o restar los términos semejantes entre sí .

Sean los polinomios P( x ) = 3 x³ +2 x² - 8 ; Q ( x ) = 4x + 2 x² +2x²

a ) hallar P ( x) + Q( x ) ; se completan y se ordenan los polinomios , se agrupan los terminos semejantes en la misma columna y se suma .

3 x³ +2 x² + 0 x – 8

2 x³+ 2 x² + 4 x + 0

5 x ³+ 4 x²+ 4 x - 8

b ) hallar P ( x ) - Q ( x ) ; restar dos polinomios es lo mismo a sumar el opuesto del sustraendo

3 x³ +2 x² + 0 x – 8

-2 x³ -2 x ² -4 x + 0

x ³+ 0 x² -4 x - 8

Polinomio reducido es sumar o restar los términos semejantes del mismo .

a ) 2 x³ + 4 x² - x + 8 x - 5 x² = 2 x³ - 1 x² + 7 x

b) - 9 x + 5 x² - x² +7 x³ - 10 x³ +12 x =

c ) 5 x - 15 x³ +8 x² - 11 x - 3 x³ =

Con los siguientes polinomios :

A ( x ) = 2 x - x³ - 5 x²  ;  B ( x ) = - 3 x³ +8 x² +10  ;  C (x ) = 15 + 4x - 2 x³

Calcular :

1 ) A(x) + C(x) - B(x)

2 ) B(x) - C(x) + A(x)

3) A(x) - C(x) -B( x)

Expresiones Algebraicas

Una expresión algebraica entera es una combinación cualquiera y finita de números , de letras o de números y letras , ligados entre sí con la suma , resta , multiplicación , división , poteciación y radicación . A los números se los denomina coeficientes y a las letras variables o indeterminadas . Si las indeterminadas no están afectadas por una raíz o actuando como divisor , las expresiones algebraicas son enteras y se denominan polinomios ; 2 / x ; o √x no son polinomios .

Un polinomio puede tener una o varia determinadas

4 x y + 5m +7 t³ → varias indeterminadas

5 x - 4 x³ + 7 x² + 10 → una sola determinada

* Si un polinomio tiene un solo término se llama monomio          5 x²
* Si tiene 2 términos se llama binomio                                      4 x + 6
* Si tiene 3 términos se llama trinomio                                      6 x² - 5 x + 8
* Si tiene 4 términos se llama cuatrinomio                                 3 + x³ - 2 x + 8 x²

El mayor exponente con el que aparece la variable en los términos , con coeficientes distinto de cero , determina el grado del polinomio .

P( x ) = 4 x ³ + 5 x - 9 → polinomio de tercer grado

Q( x ) = x + 4 → polinomio de primer grado

El coeficiente que multiplica a la variable de mayor exponente en un polinomio es el coeficiente principal .

R ( x ) = 3 x - 4 x³ + 8 → coeficiente principal es - 4

Un polinomio está ordenado si sus términos están ordenados en forma creciente o decreciente respecto de los exponentes de las variables .

M ( x ) = 5 x² - 3 x + 7

Un polinomio está completo si tiene todas las potencias decrecientes del grado.

H ( x ) = 2 x + 6 x ³ - x² + 12

Para completar un polinomio se agregan los términos que faltan con coeficiente cero .

T( x ) = 4 x² + 0x - 5

El término de grado cero es aquel que no tiene indeterminada .
5 = 5 xº   ; - 7 = - 7 xº

Actividad

Relacionen cada una de las consignas con su respectiva respuesta

1) 5 x² - 2                  trinomio de segundo grado
2 ) x² - 2                    binomio de tercer  grado
3) 2 x³ +1                  binomio de 2 grado ,cuyos coeficientes son 1 y -2
4 ) 3 x² + 5 x - 9        trinomio con todos coeficientes iguales a 1
5 ) x³ + x² + x            binomio de 1 grado. cuyos coeficientes son 1 y 2
6 ) x + 2                    binomio de 2 grado con el coeficiente principal igual a 5

Completen y ordenen los siguientes polinomio


1 ) x³  - 4 + 5 x
2 ) - 3 x² + 1
3 ) 4 + x ³ - 3 x²

Potenciación . Cuadrado y Cubo de un binomio .

Para resolver la potencia de un monomio se deben aplicar las propiedades de la potenciación .   ( a . b ) ⁿ = aⁿ . bⁿ

a ) ( 2 x ) ² = 2² . x² = 4 x²

b ) ( - 2 x² ) ³ = ( -2 ) ³ . ( x² ) ³ = - 8 x⁶

c ) ( 3 x³ ) ⁴ = 3⁴ . (x³) ⁴ = 81 x¹²

Cuadrado de un binomio

El cuadrado de un binomio es un trinomio que se llama trinomio cuadrado perfecto .

( a + b ) ² = ( a + b ) . ( a + b ) = a² + a.b + a.b + b²

( a + b ) ² =  a² + 2 . a b + b²

a ) ( x + 2 ) ² = x² + 2 . x . 2 + 2² =  x² +4 x + 4

b ) ( 3 x - 5 ) ² = ( 3 x )² + 2 . 3 x . ( - 5 ) + ( - 5 )² = 9 x² - 30 x + 25

c ) ( - 2 x² + x ) ² = ( -2 x² ) ² + 2 . ( -2 x² ) . x + ( x ) ² = 4 x⁴ – 4 x³ + x²


Cubo de un binomio

El cubo de un binomio es un cuatrinomio que se llama cuatrinomio cubo perfecto .

( a + b ) ³ = a³ + 3 . a² . b + 3 . a . b² + b³

( x + 5 ) ³ = ( x) ³ + 3 . ( x )² . 5 + 3 . x . ( 5 )² + ( 5 )³

= x³ + 15 x² + 75 x + 125

Resolver las siguientes potencias

a ) ( 3 x ) ⁴ =

b ) ( - 2 / 3 ) ² =

c ) ( - 3 / 4 x²) ³= ( -3/ 4 )³ . ( x²)³  =

d ) (-1 / 4 x³) ² = (- 1 / 4 )² . ( x³)² =

e ) ( 4 x² + 3 x )² =

f ) ( - 3 x - 2 x³ )² =

g ) ( 4 x - x³ ) ³ =

h ) ( -5 x² - 2 x ) ³ =

i ) ( - 2 / 3 x - 4 /5 )² =

j ) ( 5 / 2 x³ - 3 x )³ =

Números Decimales

Recordemos que una fracción expresa una división entre el numerador , que es el dividendo , y el denominador , que es el divisor.El cociente es la espresión decimal.

735 /4= 735 : 4 = 183,75 → expresión decimal

Expresión decimal exacta : cuando el resto es cero decimos que el cociente es una expresión decimal exacta.  15 ∟4       resto = 0 ; cociente = 3,75

Expresión decimal periódica : como el resto no es cero y en el cociente hay un número que se repite decimos que es una expresión periódica  75∟9 → resto = 3 , cociente = 8,33333                                                                        
Para expresar un número decimal como una fracción decimal, se pone como numerador de la fracción el número dado sin la coma y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga ese número.

Unidades decimales

Son fracciones decimales que tienen por numerador uno y denominador unaia potencia de 10.

Suma y resta de números decimales

a ) Se colocan en columna haciendo corresponder las comas.

b ) Se suman (o se restan) unidades con unidades, décimas con décimas, centésimas con centésimas...

342.528 + 6 726.34 + 5.3026 + 0.37 =


372.528 - 69.68452 =

Multiplicación de números decimales

a ) Se multiplican como si fueran números enteros.
b ) El resultado final es un número decimal que tiene una cantidad de decimales igual a la suma del número de decimales de los dos factores.

46.562 · 38.6

Multiplicación por la unidad seguida de ceros

Para multiplicar un número por la unidad seguida de ceros, se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros acompañen a la unidad.

División de números decimales

 

1. Sólo el dividendo es decimal

Se efectúa la división como si de números enteros se tratara. Cuando bajemos la primera cifra decimal, ponemos una coma en el cociente y continuamos dividiendo.

526.6562 : 7 =

2. Sólo el divisor es decimal

Quitamos la coma del divisor y añadimos al dividendo tantos ceros como cifras decimales tiene el divisor. A continuación dividimos como si fueran números enteros.

5126 : 62.37 =

3. El dividendo y el divisor son decimales

Se iguala el número de cifras decimales del dividendo y el divisor, añadiendo a aquel que tuviere menos, tantos ceros como cifras decimales de diferencia hubiese. A continuación se prescinde de la coma, y dividimos como si fueran números enteros.

5627.64 : 67.5261

4. División por la unidad seguida de ceros

Para dividir un número por la unidad seguida de ceros, se desplaza la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros acompañen a la unidad.




Resolver las siguientes operaciones combinadas

a ) 0,84 : 0,2 + ( 1 - 0,5 ) : 0 , 1 =

b ) ( 0, 2 + 0,3 + 4,25 ) . 6, 54 + 7,654 =

c )  ( 0,006 : 0,3 ) . 2, 6 +  5,45  - 1, 28 =

d ) ( 1 , 35 - 0.22 ) . 5,75 + 86, 4 : 0 ,2 0=

e ) Una niña salio con $ 25 , compró 3 lapices de $ 0,45 cada uno , 2  cuadernos de $ 5,25 cada uno , 1 tijera de $  1, 40 y 4 folios de 0,15 cada uno . ¿ cuantó dinero le sobró ?

Redondeo . Truncamiento

Para aproximar el valor de expresiones decimales con muchas o infinitas cifras decimales , se puede redondear o truncar dicha expresión .

Truncar : es cortar la expresión en una determinada cantidad de decimales :

Por ejemplo : √21 = 4, 582575695

ε < 0,1 →    √ 21 ≈ 4 ,5
ε < 0,01→    √21 ≈ 4,58
ε < 0,001 → √21 ≈ 4,582
ε < 0,0001→ √21 ≈ 4,5825

Redondear : es aproximar la expresión al valor mas cercano , con el siguiente criterio : si el decimal siguiente al que se aproxima es 0 ,1 , 2 , 3 o 4 , se trunca .

ε < 0,01 → √ 21 ≈ 4 ,58

si el decimal siguiente al que se aproxima es 5 , 6 ,7 ,8 o 9 , se suma 1 a dicho decimal .

ε < 0,1→        √ 21 ≈ 4,6
ε < 0,001 →   √ 21 ≈ 4 ,583
ε < 0,0001 → √ 21 ≈ 4,5260

El número 24,8256 se aproxima:

A los	Por truncamiento	Por redondeo
milésimos	24,825	24,826
centésimos	24,82	24,83
decimos	24,8	24,8
a la unidad	24	25

Redondeen las siguientes expresiones decimales según se indica en cada caso .

1 ) √ 2 = 1,41423562       ε < 0,01
2 ) √ 5 = 2,236067977     ε < 0,0001
3 ) ∏ = 3,141592654       ε < 0,001

Notación Científica

Notación Científica : se utiliza para escribir números muy grandes o muy pequeños de una manera abreviada . Por ejemplo : la temperatura en el interior del sol , qu es 15.ooo.ooo ºC o el volumen de una célula humana que es de 0,000000004 cm³.

Un número está escrito en notación científica cuando está expresado como producto entre  una potencia de 10 y un número cuyo valor absoluto es mayor o igual que 1 y menor que 10 .

Potencias de 10


10⁰ = 1
10¹ = 10
10² = 100
10³ = 1000
10⁴ = 10000
10^-1 = 0,1
10^-2 = 0,01
10^-3 = 0,001
10^-4 = 0,0001

Expresen en notación científica los números que faltan .


a ) 15.000.000 = 1,5 . 10⁷
b ) 0,000000004 = 4 . 10^-9
c ) -12.500.000.000 = 1, 25 . 10¹⁰
d ) 0,0000000002 = 2 . 10^-10
e ) -0,0000000018 = - 1 ,8 . 10^-9
f ) 3200000000 =
g ) -540000000 =
h ) 0,000000035 =
i ) -0, 0003         =
j ) - 0, 0000023 =

Escribir los siguientes números expresados en notación científica.


a ) 2 ,1 . 10⁵ = 210000
b ) -3 , 25 . 10⁴ = - 32500
c ) - 2 . 10^{- 8} =
d ) 4,5 . 10^{- 6} =
e ) 3 , 2 . 10^-5 =
f ) -1,474 . 10⁸ =

Resolver las siguientes operaciones

a ) 500000000 x 120000000 x 0,0003 =

En este caso se pasa a notación científica

500000000 x 12000000 x 0,0003 = 5 . 10⁸ x 1,2 . 10⁷ x 3 . 10^-4

Luego se realiza el producto de los coeficientes

5 x 10 x 3 = 150

Para sacar la potencia 10 , aplicamos la propiedad de producto de potencias de igual base , se suman los exponentes

8 + 7 + ( - 4 ) = 11

Resultado será  :
500000000 x 120000000 x 0,0003 = 150 . 10¹¹

b ) 520000000000 / 0,000003 =
 se pasa notación científica  :   5 , 2 . 10¹¹ / 3 , 10^-6

se dividen los coeficientes 5 , 2 / 3 = 1,733

Para sacar la potencia 10 , aplicamos la propiedad de  división de potencias de igual base , se restanlos exponentes

11 – ( - 6 ) = 11 + 6 = 17

Resultado será  :
520000000000 / 0,000003 = 1 , 733 . 10¹⁷

Calcular las siguientes operaciones

a) 6500000 x 0, 000023 x 120000000000 =
b) (- 3555555 x - 0,00032 ) / 480000000  =
c ) ( 12800000 x 0,00004 ) / ( 0,0006 x 15000000 ) =
d ) 450000000000 / ( - o,00009 x - 230000000 ) =

Inecuación

Una inecuación es una desigualdad donde hay por lo menos un dato desconocido. El conjunto de todos los valores que verifican una inecuación se denomina conjunto solución y se lo representa mediante un intervalo real. 

Definición de intervalo

 

Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo.

Intervalo abierto

Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b.
(a, b) = {x / a < x < b}

Intervalo cerrado

Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b.
[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la izquierda

Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.
(a, b] = {x / a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la derecha

Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.
[a, b) = {x / a ≤ x < b}

Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se utiliza el signo (unión) entre ellos.

a )   x > 2  ; S = ( 2 ; +∞ )b ) x < 5 ; S = ( -∞ ; 5 ]

 Si en una desigualdad se multiplica o divide a ambos miembros por un número entero positivo , la desigualdad se mantiene ; pero si se multiplica o divide a ambos miembros por un número entero negativo , cambia el sentido de la desigualdad .

a ) 15 > 5                                                    b ) -30 < 6
15 . 3 > 5 . 3                                              - 30 . 2 < 6 . 2
    45 > 15                                                      - 60 < 12

c )       - 3 > -12                                              d ) 5 < 10
- 3 . (-4 ) < -12 . ( -4 )                              5 . (-3 ) > 10 . ( -3)
          12 < 48                                                  - 15 > - 30

e ) 40 > 10                                               f ) - 15 < 30
40 : 2 > 10 : 2                                          - 15 : 3 < 30 :3
      10 > 5                                                       - 5 < 10

g )        - 24 > - 36                                    h )    8 < 16       

- 24 : ( - 2 ) < - 36 : ( - 2 )                      8 : ( - 2)  >  16 : ( - 2 )
              12< 18                                           - 4 > - 8

Resolución de ecuaciones

a ) - 2 x + 6 > 12

- 2 x > 12 - 6
 - 2 x > 6
x < 6 : ( - 2 )
x < - 3

b ) 2 x + 1 < 5 x - 8

2 x - 5 x < - 8 - 1
- 3 x < - 9
x > - 9 : ( - 3 )
x >  3

c ) 2 - 4 . ( x + 3 ) > 5 . ( x + 1 ) + 3                 sol : x < - 2

d ) − 4 x ≤ − 3x − 5                                           sol : x >  5

e ) - 2 . ( x + 2 ) > 10 : 5 + 100º + 3¹                sol : x < - 5

Números Fraccionarios .

Números Fraccionarios .
Suma y Resta de Números Racionales


Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

Con distinto denominador

En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

Propiedades de la suma de números racionales

1. Interna:
El resultado de sumar dos números racionales es otro número racional.
a + b
2. Asociativa:

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c)





3. Conmutativa:

El orden de los sumandos no varía la suma.

a + b = b + a



4. Elemento neutro:

El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.

a + 0 = a


5. Elemento opuesto

Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.

a + (−a) = 0


El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.


Como consecuencia de estas propiedades, la diferencia de dos números racionales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.
a − b = a + (−b)

Multiplicación de números racionales

El producto de dos números racionales es otro número racional que tiene:
Por numerador el producto de los numeradores.
Por denominador el producto de los denominadores.

Propiedades de la multiplicación de números racionales

1. Interna:

El resultado de multiplicar dos números racionales es otro número racional.
a · b
2. Asociativa:

El modo de agrupar los factores no varía el resultado.

(a · b) · c = a · (b · c)



3. Conmutativa:

El orden de los factores no varía el producto.

a · b = b · a


4. Elemento neutro:

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

a ·1 = a


5. Elemento inverso:
Un número es inverso de otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.



6. Distributiva:

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

a · (b + c) = a · b + a · c



7. Sacar factor común:

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

a · b + a · c = a · (b + c)

División de números racionales

La división de dos números racionales es otro número racional que tiene:
Por numerador el producto de los extremos.
Por denominador el producto de los medios.


También podemos definir la división de dos números racionales como producto del primero por el inverso del segundo.