miércoles, 9 de noviembre de 2011

Números Complejos

En el conjunto de los números reales no es posible obtener las raíces de índice par y radicando negativo. Por ejemplo , √-25 , no hay ningun número tal que elevado al cuadrado dé por resultado el número - 25 . Para resolver estas operaciones  se amplia el conjunto de los números reales , introduciendo los números imaginarios .

Entre los númeroas imaginarios se define la unidad imaginaria que se designa con la letra i , y tal que su cuadrado es igual a -1 .

Ejemplo : √-36 = ±6 i , en efecto ( ± 6 i )² = 6². i² = 36 . ( -1 ) = - 36

Los números complejos se definen se representan de la forma bínomica  :a + b i

Donde a es la componente real , b es la componente imaginaria
.
Opuesto de un número complejo es interponer el signo negativo delante del número complejo , lo que hace este signo negativo es cambiar los signos de las componentes .

  Z  = -2+ 5 i
- Z =   2 - 5 i

Conjugado de un número complejo es cambiarle el signo a la componente imaginaria .

Z = 4 + 7 i
Z = 4 - 7 i
La suma de dos números complejos conjugados da por resultado un número real que es el duplo de la componente real .

Ejemplo : ( 8 + 5 i ) + ( 8 - 5 i ) = 16

               ( - 3 - 4 i ) + ( - 3 + 4 i ) = - 6

Representación gráfica de un número complejo : Z = 3 + 5 i


Suma de números complejos : se llama suma de dos o más números complejos al complejo que tiene como componente real la suma de las componentes reales y como componente imaginaria la suma de las componentes imaginarias de los números sumados .

En símbolos :

( a + b i ) + ( c + d i ) = (a+ c ) + ( b + d ) i

Ejemplo

( 2 + 6 i ) + ( 1 + 8 i ) = ( 2 + 1 ) + ( 6+ 8 ) i = 3 + 4 i
                                 

( 9 + 3 i ) + ( -8 + 4 i ) = ( 9 + ( -8) ) + ( 3 + 4 ) i = 1 + 7 i
                                  

Resta de números complejos : la diferencia entre dos números complejos es el complejo que tiene por componentes real e imaginaria , respectivamente la diferencia entre las componentes reales y entre las componentes imaginarias del minuendo y sustraendo .

En símbolos :

( a + b i ) - ( c + d i ) = (a- c ) + ( b - d ) i

Ejemplo

( 9 + 5i ) - ( 1 + 3 i ) = ( 9 - 1) + ( 5- 3 ) i = 8 + 2 i
                             

Otra forma de resolver la resta transformandala en una suma , es decir al primer complejo sumarle el opuesto del segundo .

Ejemplo

( - 5 + 7 i ) - ( 4 - 6 i )
( - 5 + 7 i ) + ( -4 + 6 i ) = ( -5 + (-4 )) + ( 7 + 6 ) i = - 9 + 13 i
                                     

Multiplicación de números complejos : antes debemos considerar i² = -1 ; multiplicar dos números complejos se reduce a multiplicar dos binomios sumas ; luego habrá que multiplicar cada término del primero por cada término del segundo y sumar los productos parciales.

En símbolos :

( a + b i ) . ( c + d i ) = a . c + bi . c + a . di + bi . di

donde bi . di = b .d. i² y como i² = -1

bi . di = b.d .( -1 ) = - b . d  entonces nos quedará

( a + b i ) . ( c + d i ) = a . c + bi . c + a . di  - b . d

Ejemplo

( 5 + 7 i ) . ( 4 - 6 i ) = 5 . 4 + 5 . (-6i) + 7 i . 4 + 7 i . (-6 i) =
= 20 - 30 i + 28 i - 42 i²
= 20 - 30 i + 28 i - 42 . ( -1 )
= 20 - 30 i + 28 i + 42
= 62 - 2 i

División de números complejos : para dividir dos números complejos se multiplican el dividendo y el divisor por el conjugado del divisor y luego se efectuan las operaciones indicadas .

En símbolo :

a + b i ( a + b i ) . ( c - d i )  = a . c + b i . c - a . d i - b i . d i² = a. c + b i . c - a . d i + b . d
c + di       ( c + d i ) . ( c - d i )                      c² + d²                                         c² + d²

Ejemplo :

5 - 2 i    ( 5 - 2 i ) . ( 4 - 3 i )    =   5 . 4 + ( - 2 i ) . 4 + 5 . ( - 3 i ) + ( - 2 i ) . ( -3 i )  =
4 + 3 i        ( 4 + 3 i ) . ( 4 - 3 i )                                    4² + 3²
                                                        =    20 - 8 i - 15 i + 6 = 26 - 23 i 26   - 23 i
                                                                         16 + 9            25         25     25

Ejercitación

1) ( 6 + 5 i ) + ( 6 - 9 i )
2 )  (¾ + 5 i ) + ( 3 / 2 - 2 i )
3 )  (4 + ½ i ) + ( ¼ - 4 i )
4 ) ( 9 - 6 i ) - ( -2 + 4 i )
5 ) ( ¼ - 4 i ) - ( 2 + ¾ i )
6 ) ( 3 - 4 i ) . ( -6 + 3 i )
7 ) (½ + 5 i ) . ( ¾ - 2 i )
8 ) ( 6 + 7 i ) : ( 5 - 2 i )
9 ) ( ¼ - 8 i ) : ( -1 + 3 i )
10 ) ( - 8 - 5 i ) : ( ½ - i )

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