jueves, 10 de noviembre de 2011

Potencia de números complejos

Primeramente calculamos las sucesivas potencias de la unidad imaginaria i .
Tanto en números reales como en números complejos , la potencia  cero de todo número es a igual a 1 .

= 1

i1 = i

= - 1

= - i    se la puede calcular i³ = i² . i = (-1) . i o sea i³ = - i

A partir de la cuarta  potencia resultan las sucesivas potencias de i .

iº= 1               i4 = 1
i1 = i                i5 = i
i2 = - 1            i6 = -1
i3 = - i             i7 = - i

A veces es confuso saber todas las potencias sucesivas por eso existe otra forma , supongamos que tenemos

i25 =   en este caso se divdide la potencia siempre por 4 , y el resto será nuestra nueva potencia :

25  ∟4
1       6        resto es 1

i25 = i1 = i

i25 = i

Otro ejemplo :

i39 = i3 = - i

39 ∟4
3      9        resto es 3

Conociendo el valor de las potencias sucesivas podemos resolver el   cuadrado y cubo un binomio complejo

Ejemplo

( 3 + 5 i )² = 3² + 2 . 3 . 5 i + ( 5 i )²

= 9 + 30 i - 25 = - 16 + 30 i

Ejemplo

( ½ + 2 i )³ = (½)³ + 3 .( ½)² . 2 i + 3 . ½ . ( 2 i )² + ( 2 i )³

(½)³ + 3 .( ½)² . 2 i + 3 . ½ . ( 2 i )² + ( 2 i )³ =

1/ 8 + 3. 1/4 . 2 i + 3 . 1 /2 . 4 . i2 + 23 . i3 =

1/ 8 + 3 /2 i  - 6 – 8 i =

- 47 / 8 – 13 / 2 i

Ejercicios


a ) ( -5 + 8 i )² =

b ) ( ¾ - 4 i )² =

c ) ( ¼ + ½ i )³ =

d ) ( -5 + 9 i )³ =

10 comentarios: